843-n-皇后问题

例题 843. n-皇后问题

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描述

n-皇后问题是指将 n 个皇后放在 n×n 的国际象棋棋盘上，使得皇后不能相互攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。

现在给定整数 n，请你输出所有的满足条件的棋子摆法。

输入格式 共一行，包含整数 n。

输出格式 每个解决方案占 n 行，每行输出一个长度为 n 的字符串，用来表示完整的棋盘状态。

其中 . 表示某一个位置的方格状态为空，Q 表示某一个位置的方格上摆着皇后。

每个方案输出完成后，输出一个空行。

注意：输出顺序要按照样例的规律

数据范围 1≤n≤9
输入样例：

4

输出样例：

.Q..
...Q
Q...
..Q.

..Q.
Q...
...Q
.Q..

分析

• 由于皇后不能相互攻击，故棋盘的每一行、每一列和每条对角线上有且只有一个皇后。
  • 递归处理，每一次递归视为一次对棋子的判断，递归的层数视为棋盘的行，每一层选择放置一个皇后。
  • 对于递归的每一层，遍历这层棋盘的格子，判断以该格子的列和对角线上是否存在过皇后。
  • 若放置皇后，则需要对放置的格子所在的列和对角线进行标记，并将其记录在答案数组中。
  • 递归处理上述过程，直到将皇后放置完毕，此时遍历答案数组输出一次排列。
  • 对于对角线的处理，我们可以利用数学关系，转换为截距进行标记k = i + u或k = i - u。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 100;

int n;

char mp[N][N];  // 当前棋盘的状态

bool y[N], l[N], r[N];  // 标记是否存在过皇后

void dfs(int u) {
    if (u == n + 1) {  // 当u=n+1时说明第n层的棋盘已经放置完毕，输出一次可能性
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                cout << mp[i][j];
            }
            cout << endl;
        }
        cout << endl;
        return;
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (!y[i] && !l[u - i + n] && !r[u + i + n]) {  // 若该点所在的列及其所在的对角线的平行线不曾出现过皇后
            y[i] = l[u - i + n] = r[u + i + n] = 1;  // 标记
            mp[u][i] = 'Q';  // 放置皇后
            dfs(u + 1);  // 递归到下一层
            mp[u][i] = '.';  // 回溯
            y[i] = l[u - i + n] = r[u + i + n] = 0;
        }
    }
}

int main() {
    cin >> n;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {  // 初始化
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            mp[i][j] = '.';
        }
    }

    dfs(1);

    return 0;
}