线性代数（持续更新中）

1. 基本概念

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1.1 行列式

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二阶行列式 ：

\[\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{matrix}\right| = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \]

• 对于 \(a_{ij}\)：\(i\) 表示行标，\(j\) 表示列标。
• 对角线

\[a_{11}a_{22} $$ 为主对角线；\]

a_{12}a_

\[ 为次对角线。 **三阶行列式** ： \]

\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{matrix}\right| = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_

\[ --- ### 1.2 线性方程组 --- **$n$ 元非齐次线性方程组** ： * 设有 $n$ 个未知数 $m$ 个方程的线性方程组，其中 $a_{ij}$ 是系数。 **$m\times n$ 矩阵**： * 由 $m\times n$ 个数 $a_{ij}(i = 1, 2, \dots, m, j = 1, 2, \dots,n)$ 排列成的 $m$ 行 $n$ 列的数表。 \]

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end

\[ **与线性方程组相关的矩阵**： 对于非齐次线性方程组： $$ \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\dots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\dots+a_{2n}x_n=b_2\\ \dots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\dots+a_{nn}x_n=b_n \end{cases} $$ 有如下矩阵： $$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{bmatrix},\quad X = \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix},\quad b = \begin{bmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} & b_{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} & b_{m} \end{bmatrix} $$ 其中： * $A$ 为系数矩阵。 * $X$ 为未知数矩阵。 * $b$ 为常数项矩阵。 * $B$ 为增广矩阵。 --- #### 1.3.2 矩阵的计算 --- **加减**： * 两个矩阵相加或相减，需要满足两个矩阵的列数和行数一致。  * 满足交换律： $A + B = B + A$ **乘法**： * 两个矩阵 $A$ 和 $B$ 相乘，需要满足 $A$ 的列数等于 $B$ 的行数。  * 矩阵乘法不满足交换律：$AB\ne BA$，但仍然满足结合律和分配律：  --- #### 1.3.3 零矩阵和单位矩阵 --- **零矩阵** ： * 元素都是 $0$ 的矩阵称为零矩阵，记作 $O$。 * 不同型的零矩阵是不同的。 **单位矩阵** ： * 单位矩阵是一个 $n\times n$ 矩阵，从左到右的对角线（主对角线）上的元素是 $1$，其余元素都为 $0$。 下面是三个单位矩阵：  * 若矩阵 $A$ 为 $n\times n$ 的方阵，$E$ 为单位矩阵，则：$AE = A, EA = A$  --- #### 1.3.4 逆矩阵和奇异矩阵 --- **逆矩阵** ： * 矩阵 $A$ 的逆矩阵记作 $A^{-1}$。 * $AA^{-1} = E$，其中 $E$ 为单位矩阵。  **奇异矩阵** ： * 当一个矩阵没有逆矩阵的时候，称该矩阵为奇异矩阵。 * 当且仅当一个矩阵的行列式为零时，该矩阵是奇异矩阵。  当 $a\times d-b\times c=0$ 时 $A^{-1}$ 不存在，则 $A$ 是奇异矩阵。 如：$$ A=\begin{bmatrix}1&1\\2&2\end{bmatrix} $$ 是奇异矩阵。 --- #### 1.3.5 矩阵转置 --- * 将矩阵 $A$ 的行换成同序数的列得到的新的矩阵，叫做 $A$ 的转置矩阵，记作 $A^T$。  * 转置运算公式：  --- #### 1.3.6 对称矩阵 * 如果一个矩阵转置后等于原矩阵，那么这个矩阵称为对称矩阵。  * 由定义可知，对称矩阵一定是方阵。 * 对称矩阵很常见，实际上，一个矩阵转置和这个矩阵的乘积就是一个对称矩阵：  * 两个对称矩阵相加，仍然得到对称矩阵：  --- ## 2. 方程组的解释 --- ### 2.1 二元方程组及其矩阵 --- 设方程组有 $2$ 个未知数，一共有 $2$ 个方程： * 则有方程组 \]

\begin{cases} 2x & -y & = 0 \ -x & +2y & = 3 \end

\[* 写作矩阵形式有 \]

\begin{bmatrix} 2 & -1 \ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 3 \end

\[ 通常我们把第一个矩阵称为系数矩阵 $A$，将第二个矩阵称为向量 $x$，将第三个矩阵称为向量 $b$，于是线性方程组可以表示为 $Ax=b$。 --- **行图像**： * 即直角坐标系中的图像。  **解释**： * 上图是直角坐标系中方程组中的两直线相交的情况。 * 接下来我们按列观察方程组： * \]

x\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix}
$$

• 我们把第一个向量称作 \(col_1\)，第二个向量称作 \(col_2\)，分别表示第一列的向量和第二列的向量。
• 要使得式子成立需要第一个向量加上两倍的第二个向量，即：
  • \[\]
  \[\]

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列图像：

• 即在二维平面上画出上面的列向量。

解释：

• 绿向量 \(col_1\) 与蓝向量（两倍的绿向量 \(col_2\)）合成红向量 \(b\)。
  • 接下来我们继续观察方程组：

\[x\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix} \]

• 显然地，\(col_1\) 和 \(col_2\) 通过某种线性组合得到了向量 \(b\)，即：

\[1\times col_1 + 2\times col_2 = 1\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix} \]

• 那么推广来看，\(col_1\) 和 \(col_2\) 通过所有的线性组合所得到的向量 \(b_i\) 将能够铺满整个平面。

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2.2 三元方程组及其矩阵

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设方程组有 \(3\) 个未知数，一共有 \(3\) 个方程：

• 则有方程组

\[\begin{cases}2x & -y & =0 \\ -x & +2y & -z = -1 \\ & -3y & +4z = 4\end{cases} \]

• 写作矩阵形式有

\[A=\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-3&4\end{bmatrix},\quad b=\begin{bmatrix}0\\-1\\4\end{bmatrix} \]

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行图像的解释 ：

• 在三维直角坐标系中，每一个方程将确定一个平面。
  • 接下来我们按列观察方程组：

\[x\begin{bmatrix}2\\-1\\0\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}-1\\2\\-3\end{bmatrix}+z\begin{bmatrix}0\\-1\\4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\-1\\4\end{bmatrix} \]

• 该例子中的三个平面会相交于一点 \((0,0,1)\)，这个点就是方程组的解，且代入 \(x = 0,y = 0,z = 1\) 也可以使得上述式子成立。

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列图像的解释 ：

• 观察列图像的向量 \(col_1,col_2,col_3\) 的组合。
  • 继续观察方程组：

\[x\begin{bmatrix}2\\-1\\0\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}-1\\2\\-3\end{bmatrix}+z\begin{bmatrix}0\\-1\\4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\-1\\4\end{bmatrix} \]

• 显然地，\(col_1,col_2,col_3\) 也可以通过某种线性组合得到向量 \(b\)，即：

\[0\times \text{col}_1 + 0\times \text{col}_2 + 1\times \text{col}_3 = 0\begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ 0\end{bmatrix} + 0\begin{bmatrix}-1 \\ 2 \\ -3\end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix}0 \\ -1 \\ 4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ -1 \\ 4\end{bmatrix} \]

• 那么推广来看，我们需要考虑，对于任意的 \(b\)，是否都能求解 \(Ax=b\)？用列向量线性组合的观点阐述：\(\text{col}_1, \text{col}_2, \text{col}_3\) 通过所有的线性组合所得到的向量 \(b_i\)，是否能够铺满整个空间？
  • 对上面这个例子，答案是肯定的。
  • 如果三个向量在同一个平面上，则无法铺满整个空间。

推广的解释：

• 当三个向量在同一个平面上时，那么它们的线性组合也一定都在这个平面上。
  • 例如：\(\text{col}_3 = \text{col}_1 + \text{col}_2\)，不管怎么组合，这三个向量的结果都逃不出其所在的平面。
  • 因此当 \(b\) 在平面内，方程组有解，而当 \(b\) 不在平面内，这三个列向量就无法构造出 \(b\)。
  • 在后面的课程中，我们会了解到这种情形称为奇异、矩阵不可逆。

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2.3 更高的维度

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我们推广到九维空间，每个方程有九个未知数，共九个方程。

显然地，此时已经无法从坐标图像中描述问题了，但是我们依然可以从求九维列向量线性组合的角度解决问题，仍然是上面的问题。我们是否总能通过所有的线性组合所得到的向量 \(b_i\)，来铺满整个九维空间？

当然这仍取决于这九个向量，如果我们取一些并不相互独立的向量，则答案是否定的，比如取了九列但其实只相当于八列，有一列毫无贡献（这一列是前面列的某种线性组合），则会有一部分 \(b\) 无法求得。

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2.4 关于 \(Ax = b\) 的计算

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对于任意的线性方程组，我们都可以将其化为矩阵的形式，得到系数矩阵 \(A\)，向量 \(x\) 和向量 \(b\)，接下来讲解其计算。

对于 \(Ax = b\) 是一种乘法运算：

例1：

设

\[A = \begin{bmatrix}2 & 5 \\ 1 & 3\end{bmatrix}, x = \begin{bmatrix}1 \\ 2\end{bmatrix} $$，求 $b$。 * 使用列向量线性组合的方式，一次计算一列，即把 $Ax$ 看做 $A$ 列向量的线性组合： **解**： \]

\begin{aligned} \begin{bmatrix}2 & 5 \ 1 & 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 \ 2\end{bmatrix} &= 1\begin{bmatrix}2 \ 1\end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix}5 \ 3\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}2 \ 1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}10 \ 6\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}12 \ 7\end{bmatrix} \end

\[ **例2**： 设 \]

A=\begin{bmatrix}2&-1&0\-1&2&1\0&3&4\end{bmatrix},\ x=\begin{bmatrix}0\0\1\end

\[，求 $b$。 **解**： \]

\begin{aligned} \begin{bmatrix}2&-1&0\-1&2&1\0&3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\0\1\end{bmatrix} &= 0\begin{bmatrix}2\-1\0\end{bmatrix}+0\begin{bmatrix}-1\2\3\end{bmatrix}+1\begin{bmatrix}0\1\4\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}0\1\4\end{bmatrix} \end

\[ --- ## 3\. 矩阵消元 --- 这个方法最早由[高斯](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%A1%E7%88%BE%C2%B7%E5%BC%97%E9%87%8C%E5%BE%B7%E9%87%8C%E5%B8%8C%C2%B7%E9%AB%98%E6%96%AF#%E8%91%97%E4%BD%9C)提出，我们以前解方程组的时候都会使用，现在来看如何使用矩阵实现消元法。 --- ### 3.1 消元法 --- 有三元方程组 \]

\begin{cases}x&+2y&+z&=2\3x&+8y&+z&=12\&4y&+z&=2\end

\[，对应的矩阵形式 $Ax=b$ 为 \]

\begin{bmatrix}1&2&1\3&8&1\0&4&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\y\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\12\2\end

\[。 按照我们以前做消元法的思路： * 第一步，我们希望在第二个方程中消去 \(x\) 项，来操作系数矩阵 \[ A=\begin{bmatrix}\underline{1}&2&1\\3&8&1\\0&4&1\end{bmatrix}, \] 下划线的元素为第一步的主元（pivot）： \[ \begin{bmatrix}\underline{1}&2&1\\3&8&1\\0&4&1\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{row}_2-3\text{row}_1}\begin{bmatrix}\underline{1}&2&1\\0&2&-2\\0&4&1\end{bmatrix} \] * 这里我们先不管 \(b\) 向量，等做完 \(A\) 的消元可以再做 \(b\) 的消元。（这是 MATLAB 等工具经常使用的算法。） * 第二步，我们希望在第三个方程中消去 \(y\) 项，现在第二行第一个非零元素成为了第二个主元： \[ \begin{bmatrix}\underline{1}&2&1\\0&\underline{2}&-2\\0&4&1\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{row}_3-2\text{row}_2}\begin{bmatrix}\underline{1}&2&1\\0&\underline{2}&-2\\0&0&\underline{5}\end{bmatrix} \] * 注意到第三行消元过后仅剩一个非零元素，所以它就成为第三个主元。做到这里就算消元完成了。 再来讨论一下消元失效的情形： * 首先，主元不能为零； * 其次，如果在消元时遇到主元位置为零，则需要交换行，使主元不为零； * 如果我们把第三个方程 \(z\) 前的系数改成 \(-4\)，会导致第二步消元时最后一行全部为零，则第三个主元就不存在了，至此消元不能继续进行了，这就是下一讲中涉及的不可逆情况。 * 接下来就该回代（back substitution）了，这时我们在 \(A\) 矩阵后面加上 \(b\) 向量写成增广矩阵（augmented matrix）的形式： \[ \left[\begin{array}{ccc|c}1&2&1&2\\3&8&1&12\\0&4&1&2\end{array}\right]\to\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&1&2\\0&2&-2&6\\0&4&1&2\end{array}\right]\to\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&1&2\\0&2&-2&6\\0&0&5&-10\end{array}\right] \] * 不难看出，\(z\) 的解已经出现了。 * 此时方程组变为 \[ \begin{cases} x + 2y + z &= 2 \\ 2y - 2z &= 6 \\ 5z &= -10 \end{cases} \] 从第三个方程求出 \(z = -2\)，代入第二个方程求出 \(y = 1\)，再代入第一个方程求出 \(x = 2\)。 --- ### 3.2 消元矩阵 --- 在 \(2.4\) 讲我们学习了矩阵乘以向量的方法，现在有三个列向量的矩阵乘以另一个向量，按列的线性组合可以写作： \[ \begin{bmatrix}v_1 & v_2 & v_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\4\\5\end{bmatrix}=3v_1+4v_2+5v_3. \] 但现在我们希望用矩阵乘法表示行操作，则有\]

\begin{bmatrix}1&2&7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\text{row}_1\\text{row}_2\\text{row}_3\end{bmatrix}=1\cdot\text{row}_1+2\cdot\text{row}_2+7\cdot\text{row}_3

\[。 易看出这里是一个行向量从左边乘以矩阵，这个行向量按行操作矩阵的行向量，并将其合成为一个矩阵行向量的线性组合。 介绍到这里，我们就可以将消元法所做的行操作写成向量乘以矩阵的形式了。 * 消元法第一步操作为将第二行改成 $row_2-3row_1$，其余两行不变，则有\]

\begin{bmatrix}1&0&0\-3&1&0\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&1\3&8&1\0&4&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2&1\0&2&-2\0&4&1\end

\[* 对于第二行的计算： \]

\begin{aligned} &-3\times\begin{bmatrix}1&2&1\end{bmatrix} + 1\times\begin{bmatrix}3&8&1\end{bmatrix} + 0\times\begin{bmatrix}0&4&1\end{bmatrix} \
&= \begin{bmatrix} -3 + 3 + 0&-3\times 2 + 1\times 8 + 0&-3\times 1 + 1\times 1 + 0\end{bmatrix} \
&= \begin{bmatrix}0&2&-2\end{bmatrix} \end

\[ * 另外，如果三行都不变，消元矩阵就是单位矩阵 \]

I=\begin{bmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1\end

\[，$I$ 之于矩阵运算相当于 $1$ 之于四则运算。 * 这个消元矩阵我们记作 $E_{21}$，即将第二行第一个元素变为零。 * 接下来就是求 $E_{32}$ 消元矩阵了，即将第三行第二个元素变为零，则\]

\begin{bmatrix}1&0&0\0&1&0\0&-2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&1\0&2&-2\0&4&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2&1\0&2&-2\0&0&5\end

\[。这就是消元所用的两个初等矩阵（elementary matrix）。 * 最后，我们将这两步综合起来，即 \]

E_{32}(E_{21}A)=U

\[，也就是说如果我们想从 $A$ 矩阵直接得到 $U$ 矩阵的话，只需要 \]

(E_{32}E_{21})A

\[ 即可。 * 注意，矩阵乘法虽然不能随意变动相乘次序，但是可以变动括号位置，也就是满足结合律（associative law），而结合律在矩阵运算中非常重要，很多定理的证明都需要巧妙的使用结合律。 **补充** ： * 既然提到了消元用的初等矩阵，那我们再介绍一种用于置换两行的矩阵：置换矩阵（permutation matrix）。 * 例如： \]

\begin{bmatrix}0&1\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c&d\a&b\end

\[，置换矩阵将原矩阵的两行做了互换。 * 顺便提一下，如果我们希望交换两列，则有 \]

\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1\1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b&a\d&c\end

\[。 我们现在能够将 $A$ 通过行变换写成 $U$，那么如何从 $U$ 再变回 $A$，也就是求消元的逆运算。 对某些“坏”矩阵，并没有逆，而本讲的例子都是“好”矩阵。 --- ### 3.3 逆 --- 现在，我们以 $E_{21}$ 为例，\]

\Bigg[\quad ?\quad \Bigg]\begin{bmatrix}1&0&0\-3&1&0\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1\end

\[，什么矩阵可以取消这次行变换？ 这次变换是从第二行中减去三倍的第一行，那么其逆变换就是给第二行加上三倍的第一行，所以逆矩阵就是\]

\begin{bmatrix}1&0&0\3&1&0\0&0&1\end

\[。 我们把矩阵$E$的逆记作 $E^{-1}$，所以有 $E^{-1}E=I$。 --- ## 4. 乘法和逆矩阵 --- ### 4.1 矩阵乘法 --- ##### 4.1.1 行列内积 --- 有 $m\times n$ 矩阵 $A$ 和 $n\times p$ 矩阵 $B$（$A$ 的总列数必须与 $B$ 的总行数相等），两矩阵相乘有 $AB=C$，$C$ 是一个 $m\times p$ 矩阵，对于 $C$ 矩阵中的第 $i$ 行第 $j$ 列元素 $c_{ij}$，有： \]

c_{ij}=row_i\cdot column_j=\sum_{k=1}^n a_{ik} b_

\[ 其中 $a_{ik}$ 是 $A$ 矩阵的第 $i$ 行第 $k$ 列元素，$b_{kj}$ 是 $B$ 矩阵的第 $k$ 行第 $j$ 列元素。 可以看出 $c_{ij}$ 其实是 $A$ 矩阵第 $i$ 行点乘 $B$ 矩阵第 $j$ 列。 **例**： 设 \]

A=\begin{bmatrix}1&3\2&4\5&6\end{bmatrix},\ B=\begin{bmatrix}7&8&9\10&11&12\end

\[，求 $C$。 **解**： \]

\begin{aligned} \begin{bmatrix}1&3\2&4\5&6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}7&8&9\10&11&12\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1\times 7+3\times 10 & 1\times 8 + 3\times 11 & 1\times9 + 3\times12\ 2\times 7+4\times 10 & 2\times 8 + 4\times 11 & 2\times9 + 4\times12\ 5\times 7+6\times 10 & 5\times 8 + 6\times 11 & 5\times9 +6\times12 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 37&41&45\ 54&60&66\ 95&106&117 \end{bmatrix} \end

\[ --- ##### 4.1.2 整列相乘 --- 上一讲我们知道了如何计算矩阵乘以向量，而整列相乘就是使用这种线性组合的思想： \]

\begin{bmatrix}&&\A_{col1}&A_{col2}&\cdots&A_{coln}\&&\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cdots&b_{1j}&\cdots\\cdots&b_{2j}&\cdots\\cdots&\vdots&\cdots\\cdots&b_{nj}&\cdots\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}&&\\cdots&\left(b_{1j}A_{col1}+b_{2j}A_{col2}+\cdots+b_{nj}A_{coln}\right)&\cdots\&&\end

\[ 上面的运算为$B$的第$j$个列向量右乘矩阵 $A$，求得的结果就是 $C$ 矩阵的第 $j$ 列，即 $C$ 的第 $j$ 列是 $A$ 的列向量以 $B$ 的第 $j$ 列作为系数所求得的线性组合， \]

C_j=b_{1j}A_{col1}+b_{2j}A_{col2}+\cdots+b_{nj}A_

\[。 **例** ： 设 \]

A=\begin{bmatrix}1&3\2&4\5&6\end{bmatrix},\ B=\begin{bmatrix}7&8&9\10&11&12\end

\[，求 $C$。 **解**： \]

\begin{aligned} \begin{bmatrix}1&3\2&4\5&6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}7&8&9\10&11&12\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 7\begin{bmatrix}1\2\5\end{bmatrix} + 10\begin{bmatrix}3\4\6\end{bmatrix} & 8\begin{bmatrix}1\2\5\end{bmatrix} + 11\begin{bmatrix}3\4\6\end{bmatrix} & 9\begin{bmatrix}1\2\5\end{bmatrix} + 12\begin{bmatrix}3\4\6\end{bmatrix} \end{bmatrix} \ &= \begin{bmatrix} 7\times 1+10\times 3 & 8\times 1 + 11\times 3 & 9\times 1 + 12\times 3 \ 7\times 2+10\times 4 & 8\times 2 + 11\times 4 & 9\times 2 + 12\times 4 \ 7\times 5+10\times 6 & 8\times 5 + 11\times 6 & 9\times 5 + 12\times 6 \end{bmatrix} \ &= \begin{bmatrix} 37&41&45 \ 54&60&66 \ 95&106&117 \end{bmatrix} \end

\[ --- ##### 4.1.3 整行相乘 --- 同样的，也是利用行向量线性组合的思想： \]

\begin{bmatrix} \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_{row1} \ B_{row2} \ \vdots \ B_{rown} \end

\begin{bmatrix} \vdots \ \left(a_{i1}B_{row1}+a_{i2}B_{row2}+\cdots+a_{in}B_{rown}\right) \ \vdots \end

\[ 上面的运算为$A$的第$i$个行向量左乘矩阵$B$，求得的结果就是$C$矩阵的第$i$行，即$C$的第$i$行是$B$的行向量以$A$的第$i$行作为系数所求的线性组合， \]

C_i=a_{i1}B_{row1}+a_{i2}B_{row2}+\cdots+a_{in}B_

\[。 **例**：设 \]

A=\begin{bmatrix}1&3\2&4\5&6\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}7&8&9\10&11&12\end

\[求 $C$。 **解**： \]

\begin{aligned} \begin{bmatrix}1&3\2&4\5&6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}7&8&9\10&11&12\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}1\2\5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}7&8&9\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}3\4\6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}10&11&12\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1\times 7 & 1\times 8 & 1\times9\ 2\times 7 & 2\times 8 & 2\times9\ 5\times 7 & 5\times 8 & 5\times9 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 3\times 10 & 3\times 11 & 3\times12\ 4\times 10 & 4\times 11 & 4\times12\ 6\times 10 & 6\times 11 & 6\times12 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 7 & 8 & 9\ 14 & 16 & 18\ 35 & 40 & 45 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 30 & 33 & 36\ 40 & 44 & 48\ 60 & 66 & 72 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 37&41&45\ 54&60&66\ 95&106&117 \end{bmatrix} \end

\[ --- ##### 4.1.5 分块乘法 --- \]

\left[\begin{array}{c|c}A_1&A_2\\hline A_3&A_4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c|c}B_1&B_2\\hline B_3&B_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c|c}A_1B_1+A_2B_3&A_1B_2+A_2B_4\\hline A_3B_1+A_4B_3&A_3B_2+A_4B_4\end{array}\right]

\[ 在分块合适的情况下，可以简化运算。 --- ### 4.2 逆（方阵） --- ##### 4.2.1 概念 --- * 首先，并不是所有的方阵都有逆；而如果逆存在，则有 \(A^{-1}A=I=AA^{-1}\)。 * 对于方阵，左逆和右逆是相等的，但是对于非方阵（长方形矩阵），其左逆不等于右逆。 * 对于这些有逆的矩阵，我们称其为可逆的或非奇异的。 --- ##### 4.2.2 可逆的判断 --- 我们先来看看奇异矩阵（不可逆的）： \]

A=\begin{bmatrix}1&2\3&6\end

\[，在后面将要学习的行列式中，会发现这个矩阵的行列式为 \(0\)。 * 观察这个方阵，我们如果用另一个矩阵乘 $A$，则得到的结果矩阵中的每一列应该都是 \]

\begin{bmatrix}1\2\end

\[ 的倍数，所以我们不可能从 $AB$ 的乘积中得到单位矩阵 $I$。 * 另一种判定方法，如果存在非零向量 $x$，使得 $Ax=0$，则矩阵 $A$ 不可逆。 我们来用上面的矩阵为例：\]

\begin{bmatrix}1&2\3&6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\0\end

\[。 * 证明：如果对于非零的 $x$ 仍有 $Ax=0$，而 $A$ 有逆 $A^{-1}$，则 $A^{-1}Ax=0$，即 $x=0$，与题设矛盾，得证。 现在来看看什么矩阵有逆，设 \]

A=\begin{bmatrix}1&3\2&7\end

\[，我们来求 $A^{-1}$。\]

\begin{bmatrix}1&3\2&7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\0&1\end

\[，使用列向量线性组合的思想，我们可以说 $A$ 乘以 $A^{-1}$ 的第 $j$ 列，能够得到 $I$ 的第 $j$ 列，这时我们会得到一个关于列的方程组。 --- ##### 4.2.3 逆矩阵的求法 --- 接下来介绍（Gauss-Jordan）方法，该方法可以一次处理所有的方程： * 这个方程组为\]

\begin{cases}\begin{bmatrix}1&3\2&7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\0\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}1&3\2&7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c\d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\1\end{bmatrix}\end

\[，我们想要同时解这两个方程； * 构造这样一个矩阵\]

\left[\begin{array}{cc|cc}1&3&1&0\2&7&0&1\end{array}\right]

\[，接下来用消元法将左侧变为单位矩阵； * \]

\left[\begin{array}{cc|cc}1&3&1&0\2&7&0&1\end{array}\right]\xrightarrow{row_2-2row_1}\left[\begin{array}{cc|cc}1&3&1&0\0&1&-2&1\end{array}\right]\xrightarrow{row_1-3row_2}\left[\begin{array}{cc|cc}1&0&7&-3\0&1&-2&1\end{array}\right]

\[ * 于是，我们就将矩阵从 \]

\left[\begin{array}{c|c}A&I\end{array}\right]

\[变为 \]

\left[\begin{array}{c|c}I&A^{-1}\end{array}\right]

\[ 该方法的本质是使用消元矩阵 $E$，对 $A$ 进行操作， \]

E\left[\begin{array}{c|c}A&I\end{array}\right]

\[，利用逐步消元可得 $EA=I$，进而得到：\]

\left[\begin{array}{c|c}I&E\end{array}\right]

\[实际上，该消元矩阵 $E$ 即为 $A^{-1}$，而 $I$ 用于记录消元的每一步操作；待消元完成，逆矩阵自然出现。 \]