db2
提出关系模型的是美国 IBM 公司的 E.F.Codd：
- 1970年提出关系数据模型，之后，提出了关系代数和关系演算的概念。
- 1972年提出了关系的第一、第二、第三范式。
- 1974年提出了关系的
BC范式。
2.1 关系数据结构及形式化定义
按照数据模型的三个要素：
- 关系模型由关系数据结构、关系操作集合和关系完整性约束三部分组成。
下面将对这三部分内容进行分别介绍。
2.1.1 关系
关系模型的数据结构非常简单，只包含单一的数据结构—关系。在用户看来，关系模型中数据的逻辑结构是一张扁平的二维表。
域
- 是一组具有相同数据类型的值的集合。
- 例如；自然数、整数、实数的集合。
笛卡尔积
- 给定一组域：\(D_1, D_2, D_3, \dots, D_n\)，且允许其中某些域是相同的。
- 则其笛卡尔积为：\(D_1 \times D_2 \times \dots \times D_n = \{ (d_1, d_2, d_3, \dots, d_n) \mid d_i \in D_i, i = 1, 2, \dots , n \}\)。
- 其中每一个元素 \((d_1, d_2, d_3, \dots, d_n)\) 叫做一个 \(n\) 元组，或简称元组，其中 \(d_i\) 为分量。
一个域允许的不同取值个数称为这个域的基数：
- 若 \(D_i (i = 1, 2, \dots, n)\) 为有限集，其基数为 \(m_i(i = 1, 2, \dots, n)\)。
- 则笛卡尔积 \(D_1 \times D_2 \times \dots \times D_n\) 的基数为：\[M = \prod_{i=1}^{n} m_i \]
笛卡尔积可以表示为一张二维表，表中的每行对应一个元组，表中的每一列的值来自一个域。
例如：
- 已知：\(D_1 = X = \{ a, b \}\)，\(D_2 = Y = \{ c, d \}\)。
- 则 \(D_1 \times D_2\) 的笛卡尔积为 \(D_1 \times D_2 = \{ (a, c), (a, d), (b, c), (b, d) \}\)。
- 笛卡尔积的基数为 \(2 \times 2 = 4\)，共 \(4\) 个元组，可生成表格如下：
| \(X\) | \(Y\) |
|---|---|
| \(a\) | \(c\) |
| \(a\) | \(d\) |
| \(b\) | \(c\) |
| \(b\) | \(d\) |
关系
- \(D_1 \times D_2 \times \dots \times D_n\) 的子集叫做在域 \(D_1, D_2, D_3, \dots, D_n\) 上的关系。
- 表示为 \(R(D_1, D_2, D_3, \dots, D_n)\)，其中 \(R\) 为关系名，\(n\) 为关系的目或度（Degree）。
- 关系中的每个元素是关系中的元组，通常用 \(t\) 表示。
- 当 \(n = 1\) 时，称该关系为单元关系（Unary relation）或一元关系，\(n = 2\) 时称为二元关系（Binary relation）。
关系是笛卡尔积的有限子集，所以关系也是一张二维表，表的每行对应一个元组，表的每列对应一个域。
码
候选码（Candidate key）：若关系中的某一属性组的值能唯一地标识一个元组，而其任何子集都不能，则称该属性组为候选码（如学号，身份证号）。
全码（All key）：在最简单的情况下，候选码只包含一个属性。在最极端的情况下，关系模式的所有属性是这个关系模式的候选码。
主码（Primary key）：若一个关系有多个候选码，则选定其中一个为主码。候选码的诸属性称为主属性（Prime attribute）。不包含在任何候选码中的属性称为非码属性或非主属性（Non-key attribute）。
主码和候选码本质相同，只是数量不同。
三类关系
- 基本关系（基本表或基表）：实际存在的表，是实际存储数据的逻辑表示。
- 查询表：查询结果对应的表。
- 视图表：由基本表或其他视图表导出的表，是虚表，不对应于实际存储的数据。
基本关系的性质
- 列同质的（Homogeneous）：每一列中的分量是同一类型的数据，来自同一个域。
- 不同的列可出自同一个域：
- 这些列中的每一列称为一个属性。
- 不同的属性要给予不同的属性名。
- 列的顺序无所谓（属性名打破有序性）。
- 任意两个元组不能完全相同（候选码不同）。
- 行的顺序无所谓，即行的次序可以任意交换。
- 分量必须取原子值，每一个分量都必须是不可分的数据项。这是规范条件中最基本的。
2.1.2 关系模式
在数据库中要区分型和值，关系数据库中：
- 关系模式（Relation Schema）是型，关系是值。
关系模式是对关系的描述：
- 元组集合的结构：
- 属性构成
- 属性来自的域
- 属性与域之间的映象关系
- 包括完整性约束条件及元组语义。
关系的描述称为关系模式（relation schema）。它可以形式化地表示为 \(R(U, D, DOM, F)\)：
- \(R\) 为关系名
- \(U\) 为组成该关系的属性名集合
- \(D\) 为 \(U\) 中属性所来自的域
- \(DOM\) 为属性向域的映像集合
- \(F\) 为属性间数据的依赖关系集合。
2.1.3 关系数据库
在关系模型中，实体以及实体间的联系都是用关系来表示的。在一个给定的应用领域中，所有关系的集合构成一个关系数据库。
关系数据库也有型和值之分：
- 关系数据库的型也称为关系数据库模式，是对关系数据库的描述。
- 关系数据库模式包括若干域的定义，以及在这些域上定义的若干关系模式。
- 关系数据库的值是这些关系模式在某一时刻对应的关系的集合，通常就称为关系数据库。
2.1.4 关系模型的存储结构
- 有的关系数据库管理系统中一个表对应一个操作系统文件，将物理数据组织交给操作系统完成。
- 有的关系数据库管理系统从操作系统那里申请若干个大的文件，自己划分文件空间，组织表、索引等存储结构，并进行存储管理。
2.2 关系操作
2.2.1 基本的关系操作
查询：
基本操作：选择、投影、并、差、笛卡尔积；
其他操作：连接、除、交，可由上述基本操作导出。数据更新：插入、删除、修改。
关系操作的特点是集合操作方式：
- 操作的对象和结果都是集合。
- 这种操作方式也称为一次一集合（set-at-a-time）的方式。
相应地，非关系数据模型的数据操作方式则为一次一记录（record-at-a-time）的方式。
2.2.2 关系数据语言的分类
特点：
- 关系语言是一种高度非过程化的语言，存取路径的选择由
DBMS的优化机制来完成，用户不必用循环结构就可以完成数据操作。 - 能够嵌入高级语言中使用。
- 关系代数、元组关系演算和域关系演算三种语言在表达能力上完全等价。
2.3 关系的完整性
关系模型中有三类完整性约束：
- 实体完整性（entity integrity）
- 参照完整性（referential integrity）
- 用户定义的完整性（user-defined integrity）
关系模型必须满足实体完整性和参照完整性，被称作是关系的两个不变性，应该由关系系统自动支持。
用户定义的完整性是应用领域需要遵循的约束条件，体现了具体领域中的语义约束。
2.3.1 实体完整性
- 若属性（指一个或一组属性）\(A\) 是基本关系 \(R\) 的主属性，则 \(A\) 不能取空值（null value）。
- 所谓空值就是“不知道”或“不存在”或“无意义”的值。
原因：
- 实体完整性规则是针对基本关系而言的。一个基本表通常对应现实世界的一个实体集。
- 现实世界中的实体是可区分的，即它们具有某种唯一性标识。
- 关系模型中以主码作为唯一性标识。
- 主码中的属性即主属性不能取空值。主属性取空值，就说明存在某个不可标识的实体，即存在不可区分的实体，这与第（2）点相矛盾，因此这个规则称为实体完整性。
2.3.2 参照完整性
外码：
- 设 \(F\) 是基本关系 \(R\) 的一个或一组属性，但不是关系 \(R\) 的码。
- 如果 \(F\) 与基本关系 \(S\) 的主码 \(K_s\) 相对应，则称 \(F\) 是 \(R\) 的外码。
- 基本关系 \(R\) 称为参照关系（Referencing Relation）。
- 基本关系 \(S\) 称为被参照关系（Referenced Relation）或目标关系（Target Relation）。
关系 \(R\) 和 \(S\) 不一定是不同的关系，目标关系 \(S\) 的主码 \(K_s\) 和参照关系的外码 \(F\) 必须定义在同一个（或一组）域上。
外码并不一定要与相应的主码同名；当外码与相应的主码属于不同关系时，往往取相同的名字，以便于识别。
参照完整性规则：
- 若属性（或属性组）\(F\) 是基本关系 \(R\) 的外码，它与基本关系 \(S\) 的主码 \(K\) 相对应（基本关系 \(R\) 和 \(S\) 不一定是不同的关系），则对于 \(R\) 中每个元组在 \(F\) 上的值必须：
- 取空值（\(F\) 的每个属性值均为空值）
- 或等于 \(S\) 中某个元组的主码值。
2.3.3 用户定义的完整性
- 用户定义的完整性是针对某一具体关系数据库的约束条件，反映某一具体应用所涉及的数据必须满足的语义要求。
- 关系模型应提供定义和检验这类完整性的机制，以便用统一的系统的方法处理它们，而不要由应用程序承担这一功能。
2.4 关系代数
关系代数是一种抽象的查询语言，它用对关系的运算来表达查询。
运算具备以下要素：
- 运算对象
- 运算符
- 运算结果
任何一种运算都是将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果。
关系代数的运算对象是关系，运算结果亦为关系。关系代数用到的运算符包括两类：
- 集合运算符
- 专门的关系运算符
2.4.1 传统的集合运算
传统的集合运算是二目运算，包括并、差、交、笛卡儿积4种运算。
设关系 \(R\) 和关系 \(S\) 具有相同的目（即两个关系都有 \(n\) 个属性），且相应的属性取自同一个域，\(t\) 是元组变量，\(t \in R\) 表示 \(t\) 是 \(R\) 的一个元组。可以定义并、差、交、笛卡儿积运算如下：
并（union）： 关系 \(R\) 与关系 \(S\) 的并记作：
\[R \cup S = \{t \mid t \in R \lor t \in S\} \]其结果仍为 \(n\) 目关系，由属于 \(R\) 或属于 \(S\) 的元组组成。
差（difference）： 关系 \(R\) 与关系 \(S\) 的差记作：
\[R - S = \{t \mid t \in R \land t \notin S\} \]其结果关系仍为 \(n\) 目关系，由属于 \(R\) 而不属于 \(S\) 的所有元组组成。
交（intersection）： 关系 \(R\) 与关系 \(S\) 的交记作：
\[R \cap S = \{t \mid t \in R \land t \in S\} \]其结果关系仍为 \(n\) 目关系，由既属于 \(R\) 又属于 \(S\) 的元组组成。 关系的交可以用差来表示，即 \(R \cap S = R - (R - S)\)。
笛卡儿积（Cartesian product）：
- 这里笛卡儿积的元素是元组。
- 两个分别为 \(n\) 目和 \(m\) 目的关系 \(R\) 和 \(S\) 的笛卡儿积是一个 \((n + m)\) 列的元组的集合。元组的前 \(n\) 列是关系 \(R\) 的一个元组，后 \(m\) 列是关系 \(S\) 的一个元组。
- 若 \(R\) 有 \(k_1\) 个元组，\(S\) 有 \(k_2\) 个元组，则关系 \(R\) 和关系 \(S\) 的笛卡儿积有 \(k_1 \times k_2\) 个元组。记作\[R \times S = \{\overset{\frown}{t_r t_s} \mid t_r \in R \land t_s \in S\} \]
2.4.2 专门的关系运算
专门的关系运算包括选择、投影、连接、除运算等。为了叙述上的方便，先引入几个记号：
\(R\)，\(t \in R\)，\(t[A_i]\)
- 设关系模式为 \(R(A_1, A_2, \dots , A_n)\)
- 它的一个关系设为 \(R\)
- \(t \in R\) 表示 \(t\) 是 \(R\) 的一个元组
- \(t[A_i]\) 表示元组 \(t\) 中相应于属性 \(A_i\) 的一个分量
\(A\)，\(t[A]\)，\(\overline{A}\)
- 若 \(A = \{ A_{i1}, A_{i2}, \dots, A_{ik} \}\)，其中 \(A_{i1}, A_{i2}, \dots, A_{ik}\) 是 \(A_1, A_2, \dots, A_n\) 中的一部分，则 \(A\) 被称为属性列或属性组。
- \(t[A] = (t[A_{i1}], t[A_{i2}], \dots, t[A_{ik}])\) 表示元组 \(t\) 在属性列 \(A\) 上诸分量的集合。
- \(\overline{A}\) 则表示 \(\{ A_1, A_2, \dots, A_n \}\) 中去掉 \(A_{i1}, A_{i2}, \dots, A_{ik}\) 后剩余的属性组。
\(\overset{\frown}{t_r t_s}\)
- \(R\) 为 \(n\) 目关系，\(S\) 为 \(m\) 目关系
- \(t_r \in R\)，\(t_s \in S\)，\(\overset{\frown}{t_r t_s}\) 称为元组的连接
- \(\overset{\frown}{t_r t_s}\) 是一个 \(n + m\) 列的元组，前 \(n\) 个分量为 \(R\) 中的一个 \(n\) 元组，后 \(m\) 个分量为 \(S\) 中的一个 \(m\) 元组
象集 \(Z_x\)
- 给定一个关系 \(R(X, Z)\)，\(X\) 和 \(Z\) 为属性组
- 当 \(t[X] = x\) 时，\(x\) 在 \(R\) 中的象集（Images Set）为：\[Z_x = \{ t[Z] \mid t \in R,\ t[X] = x \} \]
- 它表示 \(R\) 中属性组 \(X\) 上值为 \(x\) 的诸元组在 \(Z\) 上分量的集合。
选择
- 选择又称为限制（Restriction）
- 选择运算符的含义：
- 在关系 \(R\) 中选择满足给定条件的诸元组
- \[\sigma_F(R) = \{ t \mid t \in R \land F(t) = \text{`true'} \} \]
- \(F\)：选择条件，是一个逻辑表达式，取值为“真”或“假”
- 基本形式为：\(X_1\ \theta\ Y_1\)
- \(\theta\) 表示比较运算符，它可以是 \(\gt, \ge, \lt, \le, =, \neq\)。
- \(X_1, Y_1\) 等是属性名、常量、简单函数；属性名也可以用它的序号来代替。
- 在基本的选择条件上可以进一步进行逻辑运算，求非（\(\lnot\)）、与（\(\land\)）、或（\(\lor\)）运算。
投影
- 从 \(R\) 中选择出若干属性列组成新的关系
- \(\Pi_A(R) = \{ t[A] \mid t \in R \}\)
- \(A\)：\(R\) 中的属性
- 投影操作主要是从列的角度进行运算
- 投影之后不仅取消了原关系中的某些列，而且还可能取消某些元组（避免重复行）
连接
- θ 连接也称为 θ 连接。
- 连接运算的含义：
- 从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组。
- \[R \underset{A \theta B}{\bowtie} S = \{ \overset{\frown}{t_r t_s} \mid t_r \in R \land t_s \in S \land t_r[A] \theta t_s[B] \} \]
- \(A\) 和 \(B\)：分别为 \(R\) 和 \(S\) 上度数相等且可比的属性组。
- 连接运算从 \(R\) 和 \(S\) 的广义笛卡尔积 \(R \times S\) 中选取 \(R\) 关系在 \(A\) 属性组上的值与 \(S\) 关系在 \(B\) 属性组上的值满足比较关系 \(\theta\) 的元组。
- 连接运算的含义：
两类常用连接运算：
- 等值连接（equijoin）：
- \(\theta\) 为 \(=\) 的运算。
- 从关系 \(R\) 与 \(S\) 的广义笛卡尔积中选取 \(A, B\) 属性值相等的那些元组。
- \[R \underset{A = B}{\bowtie} S = \{ \overset{\frown}{t_r t_s} \mid t_r \in R \land t_s \in S \land t_r[A] = t_s[B] \} \]
- 自然连接（natural join）：
- 自然连接是一种特殊的等值连接：
- 两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组。
- 在结果中把重复的属性列去掉。
- 自然连接的含义：
- \(R\) 和 \(S\) 具有相同的属性组 \(B\)。
- \[R \bowtie S = \{ \overset{\frown}{t_r t_s} [\overline{B}] \mid t_r \in R \land t_s \in S \land t_r[B] = t_s[B] \} \]
- 其中 \(\overline{B}\) 为去掉重复属性组 \(B\) 后的剩余属性组。
- 自然连接是一种特殊的等值连接：
一般的连接操作是从行的角度进行运算。
自然连接还需要取消重复列，所以是同时从行和列的角度进行运算。
除运算
- 给定关系 \(R(X, Y)\) 和 \(S(Y, Z)\)，其中 \(X, Y, Z\) 为属性组。
- \(R\) 中的 \(Y\) 与 \(S\) 中的 \(Y\) 可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。
- \(R\) 与 \(S\) 的除运算得到一个新的关系 \(P(X)\)。
- \(P\) 是 \(R\) 中满足下列条件的元组在 \(X\) 属性列上的投影：
- 元组在 \(X\) 上分量值 \(x\) 的象集 \(Y_x\) 包含 \(S\) 在 \(Y\) 上投影的集合。
- \[R \div S = \{ t_r[X] \mid t_r \in R \land \Pi_Y(S) \subseteq Y_x \} \]
- \(Y_x\)：\(x\) 在 \(R\) 中的象集，\(x = t_r[X]\)。
除操作是同时从行和列角度进行运算。
