数字在计算机中的表示
基本概念
单位概念
位 （bit）：计算机中最小的数字单位，是“二进制数字”（binary digit）的缩写，它只能取 \(0\) 或 \(1\) 两个值，因此bit被称作“二进制位”。
字节 （byte）：\(8\) 个bit组成 \(1\) 个字节（byte），通常也是计算机中最常见的数据大小单位，用于表示 \(8\) 个二进制位的数字或字符。
在计算机中，一个bit指的就是一个二进制位，即最小的数字单位。
二进制表示
例如：
- 在计算机中，\(7\) 被表示为 \(0000,0111\)。其中，每四位加入
,便于区分位数。
具体地：
- \(0000,0111\) 表示的二进制数字是 \(00000111\)。
- 其中，前四位 \(0000\) 表示十进制下的 \(0\)，后四位 \(0111\) 表示十进制下的 \(7\)。
- \(0 \times 2^7 + 0 \times 2^6 + 0 \times 2^5 + 0 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 7\)
- 该表示法将数字 \(7\) 以二进制形式表示，并在前面补上了 \(0\)，使其达到了 \(8\) 比特位（bits）的宽度，常常使用这种形式来表示计算机存储的二进制数。
按照上述过程，理论上一个字节（8个bit位）最大表示的数值范围为：
- \(0000,0000 (0) \sim 1111,1111 (255)\)。
原码、反码、补码、移码
由于现实计算中不仅存在正数，还存在负数，因此按照上节中将一个字节中所有位都用来表示数是不合理的。
因此，在一些语言中区分了有符号数 和无符号数 ，像上节中表示的是无符号数的表示方法。
原码表示法
在使用原码表示法时，二进制数的最高位表示符号位 ，\(0\) 表示正数，\(1\) 表示负数。
以使用 \(8\) 位二进制原码为例，表示 \(-7\) 的二进制原码的步骤如下：
- 将 \(7\) 的二进制表示转换为 \(8\) 位二进制数的原码： \(0000,0111\)。
- 将该二进制数的符号位取反，即将第一位由“0”变为“1”，得到：\(1000,0111\)。
因此，在 \(8\) 位二进制原码表示法中，\(-7\) 的二进制原码为 \(1000,0111\)。
按照上述过程，在原码表示下，理论上一个字节（8个bit位）最大表示的数值范围为：
- \(1111,1111 (-127) \sim 0111,1111 (127)\)。
需要注意，这种方式的缺点是正数和负数的加减法需要额外处理符号位，较为复杂。
例如计算：\(-1 + 1 = 1000,0001 + 0000,0001 = 1000,0010 (-2)\)
怎么会是呢？？？显然是不对的，因此我们又引入了反码。
反码表示法
反码是一种用于计算机中表示负数的二进制数表示法。在反码中：
- 正数的反码与其原码相同；
- 而负数则取其对应正数的原码每一位取反（0变为1，1变为0）得到。
- 反码最高位仍作为符号位，0表示正数，1表示负数。
以使用 \(8\) 位二进制反码为例，表示 \(-7\) 的二进制反码的步骤如下：
- 将 \(7\) 的二进制表示转换为 \(8\) 位二进制数的原码： \(0000,0111\)。
- 将该二进制数的每一位取反，即将所有的“0”变为“1”，所有的“1”变为“0”，得到：\(1111,1000\)。
因此，在 \(8\) 位二进制反码表示法中，\(-7\) 的二进制反码为 \(1111,1000\)。
现在计算：\(-1 + 1 = 1111,1110 + 0000,0001 = 1111,1111 (反码)\)
注意 ：反码直接计算的结果需要取反才能得到原码，因此对 \(1111,1111\) 的非符号位全部取反得到 \(1000,0000 (-0)\)。
显然是对的吧 ，数值是对了，但是出现了“+0”和“-0”的问题，依然不合理，因此我们最终引入了补码。
补码表示法
补码是一种计算机中表示有符号整数的二进制数表示法，也是一种将负数转化为正数的方法。在补码中：
- 正数的补码与其原码相同；
- 而负数则为其二进制反码加一。
以使用 \(8\) 位二进制为例，表示 \(-7\) 的二进制补码的步骤如下：
- 将 \(7\) 的二进制表示转换为 \(8\) 位二进制数的原码： \(0000,0111\)。
- 将每一位取反得到反码：\(1111,1000\)，然后末位 \(+1\) 得到：\(1111,1001\)。
因此，在 \(8\) 位二进制补码表示法中，\(-7\) 的二进制补码为 \(1111,1001\)。由于 \(-6\) 的二进制补码为 \(1111,1010\)，故我们将原本为 \(1111,1000\) 表示为最小值 \(-8\)。
按照上述过程，在补码表示下，理论上一个字节（8个bit位）最大表示的数值范围为：
- \(1000,0000 (-128) \sim 0111,1111 (127)\)
现在计算：\(-1 + 1 = 1111,1111 + 0000,0001 = 1,0000,0000\)，其中多出来的一位 \(1\) 由于超过了补码的表示范围，故造成了溢出，最终的计算结果为 \(0000,0000 (0)\)。
由此，我们通过补码可以将两个数的减法运算变为加法运算，但是由于符号位的存在，补码很难直接判断真值大小，因此引入移码的概念。
移码表示法
移码是一种为了方便计算二进制浮点数而设计的表示方法：
- 将每个真值加上一个偏置值，再进行存储；
举例：
例如 \(x\) 的真值为 \(10100\)：
\(x = 10100, [ x ]_移 = 2^5 + 10100 = 1,10100\)（用,分割符号位）
\(-x = -10100, [ -x ]_移 = 2^5 - 10100 = 0,01100\)
当 \(x = 0\) 时：
注意 ：
- 移码与补码只差一个符号位，符号位取反两者就能相互转换。
证明 ：
- 正数：\([ x ]_移 = 2^n + x\)，相当于在第 \(n\) 位 \(+1\)，即在符号位取反。
- 负数：
V = (-1)^S \times M \times 2^E